Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

APPLICATIONS DIVERSES DE LA 111THUDE PRECE~DENTE. 495
soienL nulles toutes les deux. Ii suffit d'inti~grer le long d'un rectangle pour reconnaitre que ces deux inte'-rales seront nulles pour
toutes les: valeurs de it, Si cites le sonL pour it= o.
En re'sumue', si les trois condiLions suivantes sont verifie'es,
(38) (~'op PN _2fq2+>2dKo
t j(qj2<-32)clt -, (o2-~ 2 t=o
la surface minima determin~e' sera un segment annulaire (M), 'a
c~on nexion double, compris entre deux plans paralledes dont la distance est 6 et limite' par deux polygones ferme's quelconques situe's
dans ces plans. Ces deux polygoncs, qui n'onL pas necessairemenL
le me~me nombre de c6te's, seront, F'un et l'autre, de 1'espe~ce N;
c' esL-ai-dire qlu'un point mobile ne pourra revenir an point de
depart apre~s les avoir enti~rement parcourus clu'apre~s avoir fait
N tours compleis. On reconnaf't aiselment que le noinbre de constantes arbitraires contenu dans la solution est pre'cisernent egal
at celni des arbitrai~res qui sont necessaires pour la determination
comple'te du contour.
Cet exemple est le dernier de ceux qui out e'te traite's par lRiemann (no 262). On peut le'Ludier d'une mianie~re directe en sul-va-nt la me'thode indique~e plus haut, dans la Note da no 300 (I').
304. Notis de'velopperons maintenant une reniarque generate
(111 nous parait de nature 'a faire mieux comprendre le caracte~re
propre des solutions pr'ce'dentes. Soit
C12 0 CIO
(39) ci p c-It q
I'equation line'aire dont deux solutions connues, G et H, doivent
atre substitue'es dans les formules qui determinent la surface.
Subs tituons "a la fonction 0 la fonction plus generale 01, lie'e 'a 0
par la relation

(1) Riernann avait seulement indiqu6 que le probl~me pouvait htre r6solu; et
les d~veloppcments si int6rcssants donn~s sur ce sujet dans les OEuvres comp1~tes
du grand. g~onmhtre (p. 4i8 et suiv.) sont 1'ceuvre de M. H. Weber.