Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

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LIVRE 111. - CHAP- X11.

proprie t'Ls de la surface; si, dans les expressions de; et de 5, on
change t en t -H- 2K, un calcul. facile dornne
C -~ 2 K) =e-im'l CJ(t)
(36)5
Ces formules de'finissenL un d~placement parailtee 'a laxe des Z.I
Si done on considere seulement le segment (M) de la surface qui
correspond aux -valeurs de t repre'sente'es par des points "a l'inte6 -rieur du paralld'ogramme (2-K, iK') des demi-pe'riodes, ii suffira,
pour obtenir toutes les autres parties de la surface, de faire tourner
le segment (M) d'angles e'gaux aux multiples de 2-,clc autour d'un.
axe convenablement choisi, paraliel 'a l'ax,\e des z. Nous allons
cliercher la condition pour que le segment (M) forme une surface
annulaire ferme'e, qui sera alors ne'cessairenment limite'e par deux
polygones fernin's, et dont chaque point correspondra ainsi 'aun
infinite6 de -valeurs de t qui seront e'gales, "a des multiples pre's de
2 K.
Pour cqu'il en soit ainsi, it faut e'videmrnent ciue les valeurs de
CJ2 (t), 52 (t) soieut pe'riodiques, cc clii aura to-ujours lieu d'aprd's
les equations (36), si l'on a l'uinicjue relation
(37) N
N de'signmant un nombre entier. La premiere des equations (3i)
nous donne alors la relation
-N,
'a laquelle devront satisfaire les exposants je3.
Conside'roDS maintenant une section plane quelconque dont le
plan soit paraillel an plan des xy. Elle correspond, d'apre's la
formule (34), 'a une valeur de t
ih ~I/
dont la partie inmaginaire est cons tante. Pour que cette courbe soit
ferm~ee I faudra, commne le montreut les formules qi dCeri
nent la surface, que les deux integrales
j/+2( ilt+ 2)d2 j2 2Kd