Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

49,1

492 ~~~LIVRIE 111. - CHAP. XI].

Dans ces form ules, Aet B d'signent deux cons tantes quelconques;
a, b, of., f3, cc'1, f3' sont des constantes re'elles, et le nombre des
constantes a n 'est pas necessairement 6'gal "a ceinui des constantes
b; enfin les symboles H- et E0 de'signenL les transcendantes de
Jacobi, le module k e'Lant suppose reel et pl us petit que 1Funit'e.
En re'pe'anL los raisonnements indique's dans les nume'ros precedents, nous reconnaissons irnm6diatement que, si i'on donne 'a t
des valeurs re'elles quelconques, le contour de la surface correspondant "a ces valeurs re'elles de t se composera de droites paralle'es au plan des xy on. de courbes situ~ees dans des plans coupant
la surface "a angle droit et paralld'es 'a 1'axe des z; il suffira, pour
cela, cjue le produit A2B32 soit reel et que les exposants satisfassent
aux relations
fl~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~0
ou n, designera toujours un nomubre entier. Mais ici se presente
une circonstance tout 'a fait exceptionnelle si ]'on change t en
t ~ K&, les formules bien connues
(21/4~il -21i(
I(t -+-. iK') H (t) e 4" (2K K-K
montrent imme'diatoment que G(3t) et 5)(t) ne changeront pas do
forme pourvu. que les exposants soient lie's par les relations
que nous supposerons. ve'rifie'es. Alors *toutes los fonctions H so
changeront en fonctions E, et re'ciproquement; on aura
+- 1K) lcL(t - a)j7J1-.'(t -b,
(32 )
Par consequent, si l'on a
21
et si la somme
- aba 3')+- E b