Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

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486 ~~~LIVRE 11l. - C~HAP. XII.

301. Nous indiquerons les deux applica~loios suivantes.
Prenons d'abord toous les entiers nz egaux a zero, sauf deux
auxquels nous atiribuerons la valeur - 2, pour satisfaire "a la relation (i8); et supposons que les valeurs a de t correspondantes
a ces deux derniers exposants soient o et oo. Les valeurs de G et
du contour, la normalo domeurora parall~lo A un plan vtrtical fixe et, par consequent, Fargument de a sera constant. Donc la fonction
dlogu
cit
scra r6olle pour toutes los valeurs r6cllos de t. Cette fonction a des pdlos qui
(correspondent aux divcrs sommets du contour; d'autro part, si le plan tangent
no dovient horizontal cn aucun point situ6 A l'intdrieur du segment on sur un
c6t6 du contour, elle ne deviont infinie pour aucuno valour r~elle on imagnaire
(IC t diff6rente do cellos qui correspondent anx sormmots de cc contour. On a
dlonc
Iod a 0 Cf
C1 t t-a'
ct l'on ddduit do lIA, on int6grant,
it All (t - a)"'
ciz
Do m~me, la fonction o, tant nulle sur toutos los droites du contour, le produit Gil demeurera r6el quand on so ddplaccra sur chacune do sos droites. La
c-onsiditration do la surface adjointe montro quo Gil sera, an contraire, puromont
imaginairo sur chacuno dos lignes do courbure planes du contour. On ditduit do
lit, on consid~rant encore la fonction cloGH, quo Gil sera do la formo
cit
Gil=B'jJ( t -a)2-.
Los doux formulos prdc6dentes donnent bien los valeurs do G Ct do il admisos
dans le texto.
Si lon vent fairo intorvonir des points oft le plan tangent soit horizontal et
situ~s soit it 'int6ricur, soit sur le contour du segment, il suffira d'adjoindre-it une
dos doux inti~grales G, il des facteurs tels quo
(t-b )'',
oft b sera r6t-1, et

ott c et C0 soront des quantitfts imaginaires COnjugu~es.