Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

INTERPRETATION GEOMETRIQIJE. 3

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de la sphe're, la quantite' que noUs de'signons par x est l'affixe du
point (ce, f3, y).
En effet, la me'Lhode de IRiernann consiste 'a repre'senter d'abord
la variable - x'-~- iy' par le point (x',y') dans le plan des xy,
comme l'onL fail Gauss et Cauchy; puis 'a faire la projection
ste'reographique de ce plan sur la sphe're de rayon iqui a son
centre 'a t'olrigine, en prenant pour po~le le point de cette sphe~re
situe' sur la partie positive de laxe des z. Si nous designons par
a, ~3, y les coordonne'es de cette projection ste'reographique, u
calcul e'lementaire nous donne
ce qui justifie notre remarque.
31. Dans la the'orie des fonctions et dans~ difflirentes recherches
de Geioimitriei peut atre avantageux de modifier le'gerement le
systeme de coordonne'es x, y et de substituer ad,3 la variable
ma -
y
On a alors pour oc', IS) I les expressions
(20) 0 ____I XX5
I 4- XXO I -I- mm XX0 - --
et l'6'quation (i) prend la forme
dX2 dP -,- Cj(2 jcl x dxo
(I -I- XX0)2
Avec ce nouveau systLeme, les coordonne'es x, x0, de tout point
reel sont imaginaires conjugue'es; ruais,. d'autre part, un de'placement n est plus represents' par la me'rne substitution line'aire
effectLuee sur les deux. variables ('i).
(') Pour tout cc qui concerne les relations entre les d~placements et les substitutions lin6aires, On pourra consulter les importants Ml6moires de Al. F. Klein,
ins6r6s dons les tomes IX Ai XII des Mathentatische Annalen,' oh~ ces relations
se trouvent approfondies et appliqu~es ~ la solution de plusieurs probl~mes du
plus haut int~r~t.