Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

i7(6 L VRE 1Il. - CHAP. XI.
courbure qui figurent dans le contour seront des lignes planes
situees dans des plans coupant obliquement la surface si elles ont
pour representation spherique un arc de petit cercle, et des lignes
situees dans un plan normal a la surface si l'arc qui leur sert de
representation appartient a un grand cercle. Ainsi
Parmzi les sucjaces de la famille dejinie palr l'equation liineaire, il en existe ltne infinite (quti dpendent de quatrle paraietres reels) potur lesquelles le segmnent (M5) est linmit par des
liUgnes asymptotiques helicoi'cales et des lignes de cou-rbtre
planes se succecdant suivcant le inmnee ol dre que les droites et
les plans qui conmposent le conto0ur donne a priori.
La premiere question propose e das e numro precedent s'interprete done geometriquement de la mani6re suivante:
Peut-on choisir deux solutions particulieres G et H de l'equation lindaire de telle maniere que la representation spherique du
contour (M) de la surface correspondante soit composee exclusivement d'arcs de grand cercle?
Considerons une surface quelconque de la famille, correspondante 'a deux integrales particulieres dlterminees G' et H', et pout
laquelle la representation spherique du contour sera un polygone
(PF) compos6 d'arcs de petit cercle, polygone (PF) que t'on saura
construire si l'on a integre l'equation lineaire. Si l'on pose
G G'
if
on aura evidemment
(32) U q= ---
P7U7'L -}- l?
t), nZ, p, q etant des constantes arbitraires et inconnues. La question proposee revint vident nt a la suivante: Peut-on, par
l'emploi d'une transformation de la forme precedente, substituer
an polygone (P') un autre polygone (P), exclusivement compose
d'arcs de grands cercles?

leurs quelconque. Riciproquement, si la ligne asymptotiquc est une hdlice, sa
representation sph6rique, on le reconnait aisement, sera un petit cercle de la
splere.