Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

LES FORAI1ULES DE Ml. WEIERSTRASS.

/ I.T7)

plane (1) de'finie par la formnule
cit~~~~~i
Les portions du. contonr qui devraient d~re des droites ont ic
pour representation des droites (a),toesprlesopren
dicnlaires les nnes aux autres; it en est de mehue pour les portions
dii contour de (M) qui devraient e'tre des lignes de conrbnre
planes; elies ont ponr representation plane des droiies (s') qui
font avec les pr'ce'dentes (~) des angles 6gaux 'a un multiple imPair de ~.Si done on a. choisi arbitrairement d xsonions parLticilie'res, G et H, de l'e'quation line'aire, on pourra toujours, en
les mnultipliant par une neme constante, ce qui ne change pas
leuir rapport et ne modifie pas, par conse'qnent, la representation
sphe'rique de la snrface minimia correspondante, donner -,h la constante C qcli figure clans la formule (3i) -un argument tel cjne les
droites ((a!) deviennent, toutes, parallkies aux axes coordonne's,
tandis que tes droites (b') seront paralle'les aux bissectrices des
m1,nemes axes. Alors toutes les portions clu conlour C[ Li devaieni
Ctre des droites seront aun-momns des lignes asymptotiques; tontes
celles, qui devalent atre des lignes de courbtire situecs dans des
plans coupant normalement la surface seront an momns des lignes
de courbure.
Comme les lignes asymiptotiques qni figurent dans le contour
ont pour representation sphierique des arcs de cercle, elies scront,
on le reconnait aise'~ment, des heihices trace'es snr un cy lindLre quelconque si larc de cerele appartient 'a LIn petit cercie, et des droi-tes
si l'arc appartient 'a -un grand cercle (I). De M eme, les lignes de,
(') D'apr~s one p~roposition 6none~c au no, 142, les tangentes d'une ligne asynmptotiquc soot perpendiculaires aux tangentes corresponDdantes de la representatioo
sph6riquc de cette ligne. II suit dc 14 que, si une ligne asymoptotique admet pour
image sph6rique un petit cercle de la sphere, ses tangentcs seront paraillics aux
gd6ndratrices rectilignes do cone circonscrit 4 la splidre suiat cc cercle, Ct feront,
par consdquent, un angle constant avec le diam.6trc perpendiculaire au plan do
cercic. La ligne asymptotique sera done one hdlice triede sur un cylindre, da ii