Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

4-4 LLIVRE 11. - CHAP. XI.
11 ne slfJirac pas de savoilr forme'r V'e'quation dcliffretielle;
il faudra encore exp7rimer que deux inztegrales convenablement
choisies slubissenlt des modificatio7ns parfaitement determize'es
lorsqui'on suit un chezminz qulelconlquce ranmenant att point de
depcart.
Ce probleme est pose depuis la publication des recherches
recentes sur les equations lineaires, et il n'a encore recu de solution que pour certains cas particuliers.
Quoi qu'il en soit, supposons rdsolue cette premiere difficulte.
Une enumeration de constantes que 'on trouvera dans le Memoire
de Riemann, et que nous omettrons ici, montre facilemeLnt que l'on
pourra disposer de celles de ces constantes qui demeurent arbitraires pour identifier le contour obtenu avec celui qui est donne
a priorii, c'est-a-dire que lon aura autant d'equations que d'inconnues. Mais le probleme qui consisterait a resoudre ces equations,
ou a demontrer au moins qu'elles sont possibles, n'a pas det traitd
d'une maniere generale et n'a ete examine par Riemann que dans
un cas particulier, qui sera etudie plus loin au n~ 307. Tous les
exemples completement acheves donnes dans le Chapitre precedent appartiennent, comme nous lavons remarque, a la classe de
ceux pour lesquels la forme du contour est entierement definie
par la direction des elements.
293. On peut eclaircir encore les remarques precedentes en
supposant donnee ca p7rori l'equation lineaire (16), dans laquelle
p et q auront les valeurs determinees par les formules (29), et en
etudiant la fcaille de surfaces minima (n~ 283) definie par cette
equation. Pour chacune des surfaces de cette famille, il existe un
segment (M) correspondant aux valeurs de t dont la partie reelle
est positive, segment parfaitement continu et limite par un contour dont la representation spherique (S) est formee par des arcs
de grand cercle ou de petit cercle, se coupant consecutivement
sous des angles determines. Cette derniere propriete a ete deja
donnee au n~ 135 pour une dquation lineaire plus generale et
resulte uniquement de ce que l'dquation admet deux solutions
particulieres reelles dans chacun des intervalles reels determines
par les points singuliers. Considerons maintenant la representation