Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

468 LIVRE III. - CHAP. XI.
290. I1 reste donc. pour terminer cette discussion, ia examiner
quelle est la forme des integrales G, H et des coefficients p, q dan.
le voisinage des valeurs t ak qui correspondent aux sommets de
la chaine. On peut employer pour cela deux miethodes differentes.
Voici la premiere:
Soit (fig. 24) t un point compris dans la partie superieure du
plan, auquel correspond un point m7 de (M); soit t. le point symetrique de t par rapport a l'axe reel. Si l'on passe de t a t1 par
Fig. 21.
t,
/ \
(k-it ak I ak+ t
\ /
\ /
ti
le chemin tIa ti qui coupe l'axe entre ca1 et aA+, on doit passer, sur
la surface, du point im au point imn1 qui estl'homologue ou le symetrique de m dans le segment (Ml). Si, au contraire, on suit le
chemin tgt qui coupe l'axe reel entre ak_l et a, on obtiendra
le point 7mn symetrique de in dans le segment (M'_1). 11 suit de la
que le lacet t. B t ct effectuera sur les deux integrales particulieres
relatives au segment (Ml)I precisement la substitution lineaire
par laquelle on passe de ce segment au suivant (M/,).
Les deux formes canoniques de cette substitution ont ete donnees au n~ 284. Elles sont contenues dans les deux systemes suivan ts
(23) i G(t)-= e —iGGl(t),
t (t) e i H (t),
G(t) e-iQGl (t),
t tI(t)= —ei Hil(t),
qui conviennent, le premier au cas oiu les deux elements du contour qui se croisent au sommet cs sont de meme espece, le second
an cas oiu ces 6elments sont d'espece differente. On deduit immediatement de la qu'il existe, pour le point critique ack, deux inte