Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

LE'S FORMIULES DE M. WVEIELSTRASS.46

4,6 5

cc cqu n-e change pas les parties re'elles, on a
y (t) hI ~~~~k(t)] d ii
(21) Jr~~ J)_f.Jig2(t) h2(t)] di,
Ce sont les form-ules cjui conviennent an segment (),mais oIi
l'on anirait change' le signe de x et de z. On obtilent done., commoni
nons l'avons annonce' le segmient syme'trique de (M) par rapport
A la droite conside'ree du contour.
Les integrales g(t), h(t) de e'~quation diffhrentielle 6tant des
fonctions line'aires connues des deux integrales quLi correspondent
a une position determin~e, toujours la me~me, de (M) par rapport,
aux. axes, on voit que ces deux. inte'grales peuvent Utre prolonge'es
analytiquement; mais ii y aura antant de prolongemnents analytiques
qu.'il y a d'e'letnents au contour. Si l'on passe de la partie supe,ricure du pfan 'a la partie infe'rieure en traversant le segment
a1, a2 de l'axe reel, on obtiendra un segment (Ml') syme'trique do
(M) par rapport an premier 6lement de la chaine qui. de'termiDe
le contour; si l'on traverse le segment a2a3, on obtiendra to
segment (Ms) syme'trique de (M) par rapport an. second 616 -mnent de la chaine,2 et ainsi de suite; si l'on traverse enfin IC
dernier segment cisa1,l on auira le segment (Mr) syme6 -trique de (M) par rapport au. sim et dernier dlement du contour. Dans tons ces segments, le point syrnetrique d'uni mme'M
point de (I). correspond 'a Line meme valeur t, de t, et, cette
valeur est imaginaire conj-Lguee de cello cjui d~finit le point
do (MI).
On obtient ainsi s prolongements analytiques difh~rents dos
fontions G(t), 11(t); mais, comme ces prolongomounts donnent
dos segments tons syme triquos do (NI) et cjui ponvont, par consequent, so de'duire los uns dos autros, soit par des deplacements,
soit par dos dtplacemonts suivis d'une transformation par sy'itrie relative ' un plan, on doit conclure do la proposition du
no 282 quo los divers syste'mes do valours do G et do H
ainsi de'finis s'obtiondront en combinant line'airemeDt los v'aD. - f. 3o