Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

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LIVRE 111. - CI-IAP. Xi.

2"88. On pent de'duire des re'sultats precedents d'autres conse'quences en adoptant la me'thode de prolongeinent analytLique due
a Riemann et 'a M. Schwarz et de'veloppe'e aun o 130. Nous avon s
vu. pie, si une fonCtion est de'terminine pour la partie supe'rieure
dui plan et si elle est re'elle pour des valeurs re'elles de t, cule pent
etre de'finie pour la partie inf6rieure du plan par la convention que
les -vale urs de Ia fonction relatives hi deux valeurs imaginaires conjugnuees de t soient elles-me'mes imaginaires COnjUgue'es.
Appliquons cette me'thode aux deux integrales
eT G(t), e t)
q Li out e'e reconnues r~eiles; inais supposons que l'on passe de
la partie supe'rieure 'a la pan~ic inf~rieure du plan, seulement en
franchissant Ia portion de l'axe reel qui est comprise entre les deux
points ah, ah+, et qni correspond 'a la portion spe'cialement consid 'r e du. con tour. Nous allons montrer que le proloingement
anialytique des deux integrales donne un. segment de surface minima (M,,) qui est precisement le sym-ietrique de (Mi) par rapport
at la -droite on au plan de la chaine; de plus,- deux points des -deux
segments place's syme'triquement par rapport 'a Fe'6l'ment dc la
chaine correspondent At des valeurs imaginaires conjugue'es de t.
Pour plus de nettete", supposons que cet dme'nte) de la chaine soitL
une droite; alors on pourra poser
fl7
G(t) e 2
11(t)t),
g e h e'tant re'elles pouar des valeurs re'elles de t et n h'lant entier.
Le segment de surface qui correspond aux vale-urs t, de t represente'es dans la p artie infe'rieure du plan sera deifini. par les
formutles

Si 1'on change i en - i dans, les expressions souimises an signe,