Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

LES FORMULES DE Ai. WEIERSTRASS. 463
oI sz designe l'unite, positive ou negative. Le secohd doit etre
ecarte; car il conduirait a l'equation impossible
GGI -4- HH1 = 0,
et d'ailleurs il donnerait dy= o. I1 reste done seulement le premier, d'oi l'on conclut que les quantites
(1-s)i ( 1- ) i TC
e G, e I H
sont egales a leurs conjuguees et sont, par conse'quent, re'elles.
Ainsi l'equation lineaire doit admettre, pour toutes les valeurs
reelles de t comprises entre ac et ai+j, deux solutions particulieres
reelles.
La m me conclusion a lieu lorsque la partie consideree du contour est une des courbes planes situees dans les plans que la surface doit couper normalcment; car il suffit alors (n~ 285), pour
retrouver le cas precedent, de passer ia la surface adjointe et de
remplacer G; H par G\/1, H~/i. On est ainsi conduit a la regle
suivante:
Si la portion consideree du contour est une droite, supposons
que l'axe des y ait ete choisi parallele a cette droite; si elle est une
courbe plane, supposons que l'axe des y soit perpendiculaire au
plan de cette courbe; et soient G(t), H(t) les solutions particulieres relatives a cette position des axes coordonnes. Les integrales
e G(t), e)iH(t)
se7'rot reelles sa7r tolute la partieCside consid e u contocur, etant
Utn nomnbre entie7r, qui sera pair si la portionl du contour est
rectiligne et impair si elle est simplement plane.
II suit de la que, si l'on considere une chaine composee de s
elements et si l'on designe par a4, a2,..., as les valeurs de t relatives aux divers sommets de cette chaine, l'equation lineaire admettra deux solutions particulieres reelles pour chacun des intervalles (a, a2), (2a3),..., (as_, as), (aso ao,), c'est-a-dire pour
toutes les valeurs reelles de t. Done les fonctions p et q de la
variable t seront necessairement reelles pour toutes les valeurs
reelles de t.