Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

LES FORMULES DE M. WEIERSTRASS.

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devront apparaitre dans l'un au moins de ces developpements.
Par suite, les trois integrales
t t t
G2t)dt, (t)d, t) H(t)dt, f H2(t)dt
seront developpables suivant les puissances entieres de t - a, et l'un
des deux developpemen-ts au moins devra contenir la premiere
puissance de t-a. Comme la variable it doit etre nulle ou infinie
a l'origine, d'apres la direction attribuee a l'axe des z, il resulte de
l'expression (2) de u que l'une des fonctions G(t), H(t) sera infiniment petite par rapport l'autre. Soit, pour fixer les idees, H(t)
celle dont le degre est le moins eleve. La derniere des trois integrales precedentes sera celle qui aura le moindre degre et qui
contiendra, par consequent, la premiere puissance de t- a. On
pourra donc ecrire
H2(t) dt =(t- a) P(t- a),
ou, en differentiant,
(Is) t(t) = P(t - a),
P ayant la signification que nous lui avons toujours donnee, c'esta-dire representant une serie ordonnee suivant les puissances
positives de t - a et ne s'annulant pas pour t = a.
Quant a G(t), il sera determine par la formule
t
i G(t)H(t)cdti (t - a) P(t -a);
d'ou l'on deduira, par la differentiation et la substitution de la
valeur de H,
(ISa) G(t) = (t - a)^-l P(t- a),
n etant un nombre entier au moins egal a 2.
D'apres ces d6veloppements, on voit que le point t = a est necessairement un point ordinaire de l'equation lineaire toutes les
fois que n est egal a 2. Si n/ est egal ou superieur a 3, ce sera au
contraire un point a apparence sing'uliere. Le point correspondant du segment (M) sera alors un de ceux auxquels nous