Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

LES FORMULES DE Al. WEIERSTRASS.49,459

pour la forme canonique de la sUI)stitution (i i), et
('5a) ~~~~G(t) e'2 GI (t),
pour la forme canonique de la substitution (i5). Dans ces deux
systernes de formules, s de'signe l'unite6 positive ou ]negative. Les
dernie~res mettent en evidence le the4oreme suivant, auquel on
parvient aussi par la G'one'itrie:Tout deplacenment suivi d'une
transformation par symetrie relative 'a un ~plan qiielconque e'quivant 'a une rotation dWangle fini autour d'une droite, suivie d'une
transformation par syme'trie relative "a un plan perpendiculaire 'a
la droite.
280i. Nous allons appliquer les remarques pr'ce'dentes 'a la re'solution du proble~me e'tudie' dans le Cliapitre precedent, c'esta-dire 'a la de'termination du segment de surface minima (M)
limite' par la chaine de plans CL de droites qui a 6te de'ja de'finie;
inais nous pre'senterons d'abord. la remarque suivante, qui simplifiera. la solution.
JInaginons le segment[ de surface (N), adjoint "a (M), et cherchons comment il sera 1imite'. D'apre~s les proprie'tes donne'es au
Chapitre'V (no 211), les plans tangents aux points correspondants
des deux segments seront paralie'es, et deux elements correspondants seront touj ours perpendiculaires. Ii suit de 1h qu'A une droite
(d) limitant (M) correspondra. ne'cessairement sur (N) une courbe
) dont, les tangentes seront perpendiculaires "a la droite. La
courbe (C) sera donc situe'e dans un plan (P) perpendicuilaire 'a la
droite; et le plan tangent "a (N) en chaque point de cette courbe
sera necessairement paraillel 'a la droite (d), c'est-A-dire perpendiculaire au plan (P). Ainsi, "a chaquie droite (d), limite de (MI),
correspond une courbe plane (C), limit~e de (N); et cette courbe
est situe'e dans un plan quie la surface doit couper normalement.
On de'montrera tout aussi facilement qu'a chaque courbe plane,
lirnite de (MX), correspond une droite, limite de (N); et l'on pent
enoncer la proposition suivante
Le segment adjoint (N) est liinite par- 11te cliatne touate pa