Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

INTERPRETATION GEOMETRIQUE. 35
mearent immobiles dans le mouvement. Ils doivent donc satisfaire
auix relations
par consequent x, y seront les racines de l'd'quation
(12) ~~~p X2I (q - 7n) x - n -o
qui de'finitles elements doubles de la substitution line'aire. Soient x',
jIles deux racinesifrned e~ que nous supposerons diffrnts e cettquation. Onvoitque le mouvement laissera invariables les quatre points
Les deuLx premiers souL h distance finie et diamhtralemena opposes:ce sont les points oiui iaxe de rotation coupe la sphe're. Les
deux autres satisfont 'a la relation x ~y et, par conseiquent,
d'apre's les formuiles (6), uls sont sur le cercie de lFinfini. De lah6
suite cette definition d'un de'placemenL ani poinL de vue projectif.
C'est Line transformation' homographique de la sphe're laissant invariables quatre points dont deux sont?A linfini, et dont les deux
autres souL diane'tralement opposes. Ces quatre points fornient les
sommets d'uLn quadrilate~re gauche, entie~rementL situd sur la sphere.
Quant a\ la grandeur de la rotation, on la de'terminera de la manie're suivante. Ecrivons les equations (y) sons la fornme canonique
4) X- kX- /X k- 1Y
x -y x-y y-2/ y1 -y'
Cette forme se conservera e'videniment si ion effectLie un de'placement d'ensembie, c 'est-a-dire si l'on souetn toutes Jes \variables
X, y-,x,..&la me'me substitutioiz lirnire. Supposons cque ce
de'piacement ait e'te choisi de telie manie're que le point x-,
Y- yy' vienne se placer sur la parLie positive de i'axe des z; alors
XI deviendra 6gal 'ao, y' ' o et ies formunues (14) deviendront
on, en revenant aux coordonne'es rectangulaires et appelant o.,
y; cx,,,,.y, ]es coordonnees rectilignes de deux positions correspondantes du me'me point
U., _Fi P - k2i, ciK3 __
Ces formules conviennent evidemment A une rotation autour de