Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

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LIVRE III. - CHAP. XI.

par rapport a un plan, se traduit de meme par la substitution, au
determinant - i,
G(t)= -G,(t)- + H,(t),
(i5)
ou mo0, 7n sont les conjuguees de 7n et de it quand la transformation est reelle.
Pour obtenir, en effet, par rapport a un plan donne (P), la symetrique (F ) d'une figure (F) que l'on a deplacee d'abord d'une
maniere quelconque, on peut evidemment prendre la symetrique
(F') de (F) par rapport a un plan particulier et soumettre ensuite
(F') a un deplacement convenablement choisi. Or, si l'on effectue
ici la transformation
G(t) = G(t), H(t) =-H (t),
la coordonnee z de la surface change seule (de signe, et cette surfac6 est remplace par sa symetrique relativement au plan des xy.
Si l'on applique ensuite a G2 et a H2 les transformations qui caracterisent un deplacement reel, on obtient effectivement ]a substitution, de determinant - i, definie par les formules (i 5).
Nous aurons a employer dans la suite les formes canoniques
des substitutions lineaires (I ) et (i5); on les obtient sans difficulte de la maniere suivante.
Nous avons deja remarque que, si I'on considere la rotation definie par la substitution lineaire
M2 -+- n7
= ---?7o - n0 v
et si l'on prend pour axe des l'axe de cette rotation, on doit faire
_. a.aC
n7 =Z ~o= o, inZ =e 2, n0 = e 2
a designant l'angle de la rotation. Si l'on introduit ces hypotheses
dans les formules ( I) et (i5), on trouvera
G(t)=e 2 G,(t),
(IIa) (t)=e H,(
H(t)=-Ge2 Hi(t),