Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

456 LIVRE II. - CHAP. XI.
se traduitparl une substitution lineaire, aut deternminant I-,
efectuee sur G(t) et H(t), Hi et G, de'signant les nouvelles
valeurs de H et de G, on a
G(t) =- G,(t) — -H, (t),
H(t)= -,- G(t) + -.H(t);
si le deplacement est reel, mo et no sont respectivement les im7aginaires conjugueees de 7m et de n.
283. La proposition si simple que nous venons d'etablir conduit
immediatement a une consequence importante. Formons l'equation du second ordre
c12 c dO
(i3) t2 P -- qO = o,
qui admet comme solutions particulieres les deux fonctions G(t)
et H(t); il resulte du theoreme precedent que cette equation demeurera la meme lorsqu'on deplacera la surface d'une maniere quelconque dans l'espace. 11 est done naturel de se proposer la question suivante:
Considerons une equation lineaire du second ordre donnee a
priori, et prenons pour G(t) et H(t) deux solutions particulieres
quelconques de cette equation. On aura ainsi.une infinite de surfaces minima qui dependront de quatre constantes arbitraires, pouvant etre imaginaires. Nous dirons que ces surfaces forment une
memee famille. Peut-on passer d'une de ces surfaces a toute autre
par un simple deplacement? Ou, s'il n'en est pas ainsi, quelles
sont les relations geometriques entre les differentes surfaces de la
meme famille?
Pour repondre a cette question, il suffit de remarquer que l'on
passe d'une des surfaces a toute autre de la meme famille en effectuant sur G et H la substitution lineaire la plus generale. Or une
telle substitution resulte toujours de la composition des deux suivantes
G= aG1, H = aH
et
G eixGI, H = eixH11,