Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

LES FORMULES DE M. WEIERSTRASS.

-455
4:,)

qui definissent le deplacement. On peut ecrire la seconde sous la
forme
(9) Cj'((v ) do = ( o m oY)2 f(u) dcl.
(MO - no O)r
Si lon designe par G (t), H, (t) les valeurs nouvelles de G(t),
H(t), c'est-a-dire les valeurs de ces fonctions relatives ai la surface deplacee, on aura, d'apres la definition mneme de ces quantites,
(IO) v= —Hl(t)- ' q(v)cv= —iH(t)dt.
En portant ces valeurs dans la premiere equation (8) et dans
l'equation (9), on trouvera
G(t) m G (t)- nH (t)
H(t) 7oHil(t) -+ no G(t)'
8o H (t) H2 (t)
H1 (t) =[,O Hl(t)-+- noGl(t)]2
ou, plus simplement,
G(t)=, G, (t) — H (t),
H()= G,(t)noo H (t),
le radical /3 pouvant etre pris, soil avec le signe +, soit avec le
signe -. Ce double signe devait naturellement se presenter; car
la forme (3) donnee aux equations qui definissent la surface n'est
pas alteree si l'on change a la fois le signe de H et celui de G.
Comme 3 designe, dans les formules precedentes (n~ 198), le
deterninan
772mo0 - 7n2 o
on voit que le determina7t de la substitutionz lineaire dejinie
par les formules (i I) est toujours egal at l'unite. De ]a resulte
]e th6oreme suivant:
Un deplacement de la sulfacte m.izinma, ou plutdt un decplacement de la courbe minima definie par les equations
(12) x = if(G2-H2)dt, y = (G2+ H2)dt, z = j iGHdt,