Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

LE PROBLEME BE PLATEAU.45

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fonction a-, on peut; obtenir des conclusions tout aussi pre'cises.
Si n est impair et si le point a est dans l'inlt'rieur de l'aire, on
aura, d'apre's la formule (3o), -un point critique t a pour 1'inte'grale a-. Par consequent, cette integrale sera multiforme, et la
representation plane se composera d'une se'rie de portions se
repreduisant pe'riodiquernLcu. On voit ainsi que l'hypothe'se ci'itne
reprisentation p laze parfaitenen t lan itee nze sa itralt Co7tvenllv
a, to its les cas. Si le point, a est suir le contour de l'aire, la fonction
a- cessera d'dtre multiforme, mais son argument aUgMentera de
7 z - i) lorsque t passera par la valeur at. Par consequent, la
portion dn contour de (M) stir laquelle se trouve le point, a. a
lieu, d'dtre represent~e par une seule droite, le sera par deux segments perpendiculaires l'un 'a l'autre.
Supposons, an contraire, nt pair. Si le point g est dans inmte'rieur de l'aire, la representation plane (Y,) admettra un point
de ramification d'ordre — I. Si le point, 2l est, sur le contour, it
y auLra simpiemient un stationnernent on un rebroussement sur la
ligne droite parcourue par le point de (IS).
280. Ii nous reste maintenant 'a examiner les modifications,
d'ailleurs tre's simples, qu'il faudra faire subir 'a la me'tbode ge'ne'
rale par laquelle nous avons determine' les deux fonctions it et a-.
Si l'on reprend. Ia suite de raisonnenments developpe'e au Clhapitre IV du Livre II, et si l'on tient, compte des singularite's qui
resultent pour it et pour a- de la prsne des points de ramification, on verra que chaqne point, de ramification d'ordre 7t - 2
introduira simplemient, dans w le factLeur
(a, 6tant. la quantite' conjugue'e de a), s'il est, siLUe' dans l' inte'rieur
de l'aire, on le facteur
(t -a/12
SUi est, site' sur le contour et, si, par consequent, a est, r'el'.
D'ailleurs le degre' total de t d evra touj ours atre e'gal 'a - 4