Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

45o0 LIVRE Ill. - CHAP. X.
de la sphiere. Lorsque le point p. de'crit, un petit, cercie autour de O.,
l'argutment, de t - at augmente de 27-,. D'apre's la formule (2,9)
1'arg~ument; de ii augmentera de 2- (/i - i)7, et, par conseqiuent, le
point p.' fera 7n - I tours autour de ci'. On voit, quie le point of.' sera
unpoint, de ramification, d'ordre in - 2., de la surface de Riemann
qui fornme la representation sj~e'rique cle, (MAI). Aussi, dans la
suite, donnerons-nous aux points tels que o.le nom. de points de
I-amification d'ordre 1- - 2 (i). Si le point l sc trouve sur le
contLour de (Mi), le point p. de la surface, situe' dans I'inte'rieur de
1'aire, ne pourra faire qu'Iun demi-tour autour de of., et, cela cquand
on passera de la pan~ic du contour qui precede g. celle qui le
suit. Alors le point correspondant de la sphe~re fera seutlement it -
demi-tours.
Suipposons d'abord it e'gal 'a 3 on, plus ge'neralement, it impair.
Lorsque le point V. parcourt, cette portion du contour qui est,
vroisine de a., le point u!' parcourt, un arc de grand cercie passant
par le point, correspondant 7.'. Si le point u. de'cri "a tin t'rietir de
(iV) un demi-cercie, en passant de la partie du contour cjui prece'de a ' celle qui le suit, le point. u de'crira. un nombre entier
de to-urs, et, reviendra, par consequent, sur la partie de F'arc de
cercie q-ui prec~de ct,'. II y aura done un rebroutsseMent dans le
mouvement, de up! sur lFare de cercie. Si la portion conside'r~e dii
contLour de (Mi) est rectiligne, cela signifie que la normale 'a la
surface, apre's avoir tourne' dans un seus bien determnine" et, toujoutrs le me'me auto-ur de la droite, commencera 'a tourner ci) sens
contraire. Si cette partie du contour est une ligne de courbure
plane, Ic mouvement, de la tangente changera de sens et, lon
passera par uin point d'inflexion.
Siipposons, au contraire, it pair; ii aura un simple Stationie7nent dans la rotation de la normale si le contour est rectilione
et un somniret de la courbe si le contour est une ligne de courbure plane.
279. Relativement "a la representation plane (1) de'finie par la

(1) Riemann scesi born6 ~i consid~ror lo cxas oii it = 3, en indiquant que les
points los plus g~n6raux peuvent Wer formds par la r6Union do plusiours do cos
points particuliors.