Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

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LIVRE I. - CHAP. III.

n'offre aucune difficulte,
al = a - a' + a"^,
(8) b p a=bx i3 bbS,
y -= Ca + ', -+c' c^,
ca, b, c,... ayant les valeurs suivantes
q2+ 7?2- 2-P- 2 - 7p-p - q _ = Q - 2- -n
a a N= 7 b —7 ip 71Z9- q,, q -- + np
2B B 2 B
a) at )= - - n2bl" ---- ^ —, c= mq-% --
oil B est le dLterminant de la substitution
B = 7nq - np.
11 est aise de reconnaitre que ces neuf quantites sont les coefficients d'une substitution orthogonale, de determinant i, ce qui
demontre une fois de plus le theorerme etabli plus haut (n~ 24).
Si l'on remplace 77n, n, p, q par les expressions suivantes
i = - p -- i'v, n - I. -T- i),
q = —? i, = J-4 i,,
en posant, pour abr6ger,
(IO) B = )4- 2 i- p2 + 2,
on trouve
Ba = p2+ )22- 12- 2, B = 2(pu,Op'), Bc = 2(),v-pl),
(1 1) Ba'-= 2(y -I vp), Bb' b p 2+- p.2 - ),2, Bc' = 2( J, - )?),
Ba"= 2(v') - tlp), Bb"= - 2(.v - )p), Bc"= p2+ -v22 ),2-_ 2.
Ce sont, sous forme homogene, les expressions bien connues des
neuf cosinus, dues a Euler et a Olinde Rodrigues.
28. Puisque les formules (7) definissent un deplacement reel oll
imaginaire, c'est-a-dire une rotation finie, proposons-nous de determiner l'axe et la grandeur de cette rotation. On obtient ces
deux elenents de la maniere suivante:
Les points ou l'axe de rotation vient rencontrer la sphere de