Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

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LIVRE III. - CHAP. X.

est aise de demontrer que, reciproquement, toute valeur de cette
forme donne un point simple pour lequel le developpement de
a la forme (20).
Faisons en effet
U == ()-1
les formules du n~ 191 qui definissent la surface deviendront ici
x (1n-I)~^j ( (- e2'-2)P3() dv,
io
(28) y= (n - + P3(,
z - (n )f- i( v'-1)Pa(v) d,.
tt
Comm e Ps() contient un terme constant, les valeurs de x ct
de y sont du premier degre par rapport a v et a sa conjuguee v:.
On peut toujours les resoudre par rapport a v et ia v et porter les
valeurs obtenues dans z; les premiers termes de z seront bien diu
degre it en x et en y.
277. Imaginons maintenant que l'on ait represente la surface
cherclee (M) sur la moitie superieure du plan (1). Soit lt a variable complexe representee sur la moitie superieure du plan et
soil a la valeur de t relative au point considere de (ML). Les coordonnees x ety de ce point seront developpables suivant les puissances de t - a et de la quantite conjugunee t, - a; et elles contiendront necessaireme nt les premieres puissances de ces deux
quan ties. D'ailleurs, comme la variable v qui figure dans les formules (28) est le parametre d'unc ligne de longueur nulle, elle
(1) Etant donnce une portion dc surface quelconque (Ml),l connexion simple,
peut-on la representer sur la partie sup6rieure du plan? La proposition qui rdsuite d'une r6ponse affirmative a cette question ina pas encore et6 6tablie; mais
nous croyons, avec M. Klein, que les recherchles r6centes relatives au principe dc
Dirichlet pourraient, sans trop de longueurs, en fournir une demonstration rigoureuse. Dans le cas des surfaces minima, elle a 6et 6noncee dans les articles si
souvent cit6s de M. Weierstrass, et l'on pourrait la faire deriver de l'existence et
des propri6cts de la repr6sentation sph6rique de la surface. Pour abr6gcr, nous
1'aldi cti'ons ici.