Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

LE PROBLEMIE DE PLATEAU. 447
ou, en remplacant dE, d, par leurs valeurs deduites des formules
precedentes,
u2 = [-(a,-1 +...)U2 4- a-t^-l1 +..]2.
On tire de la, s designant l'unite positive ou negative,
su =- (a'L-1 +...)2 4- a-' 1-1.
ce qui donne pour u une valeur de la forme
(23) U = a~ Y^,n- 4-.....
les termes negliges etant, par rapport ia, ^i, de degre superieur
a n - I. Si l'on porte cette valeur de u dans l'equaLion
(24) - 2
d-r,
on aura l'equation differentielle suivante
d _,^-2 ~4-....
d-
La valeur de I qui satisfait a cette equation et s'annule pour
r - o sera, comme on sait, de la forme
(25) 5 = -^,,- P(^),
P(ir) designant, suivant nos conventions, une serie ordonnee suivant les puissances entieres et positives de -r, et qui le s'annule
pas pour 'i o. On deduit de lat et de la formule (23)
Iu = 7 '-1 Pl (T ),
P,(-tr) ayant la mnme signification que P(r,). En resolvant par
rapport.a ', on trouvera
1 1
(26) ri = UIt-IP2( U7-1)
Si l'on differentie maintenant cette equation, en remplacant d-i par
sa valeur S(u) du, on aura
2-n 1
(27) (U) = U- P3(U

Telle est la forme de f( u) qui convient au point considcre; et il