Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

LE PROBLEME DE PLATEAU. 445
ne suffit plus a determiner les rapports de leurs longueurs, elles
seront trop speciales et ne pourront conduire a des solutions
generales. II faut done reprendre la solution du probleme, examiner la signification des diff6rentes hypotheses que nous avons
faites et rechercher celles de ces hypotheses auxquelles il faut renoncer.
275. Nous avons admis que lintegrale C ou fv/2(u)du est
une fonction finie et uniforre dans toute l'etendue du segment
(M) que lon veut determiner. Nous allons voir que, nmme eii
excluant le cas oii la surface (M) aurait des points singuliers, il
faut admettre qu'il peut exister des points particuliers du segment
(M) qui seront des points critiques de cette integrale; en sorte
qu'elle cessera d'etre uniforme.
Imaginons, par exemple, trois plans, dcesigne's par les numeros
d'ordre I, 2, 3, se coupant suivantune droite (d) et formant ainsi
six angles diedres que nous supposerons eaux entre eux, ayant,
par suite, pour valeur commune Construisons un segment (e
droite termine aux plans i et 2. Si 'on prend le symetrique de ce
segment par rapport au plan 2, puis les symetriques des deux segments obtenus par rapport aux deux plans I et 3, on formera un
hexagone gauche dou6 d'une certaine regularite, admettant la
droite (d) pour axe de symetrie ternaire. La surface minima
iimitee par les cotes de cet hexagone jouira 6videmrment de la
maeme propriete; elle sera normale en utn point u. c la droite (d),
qui sera aussi pour elle un axe de symetrie ternaire. Par suite, si
l'on porte l'origine des coordonncees au point,. en prenant la droite
(d) pour axe des z, il sera impossible que le developpement de
suivant les puissances de x et de y commence aux termes du
second degre, aucune surface du second degre a courbures opposees n'ayant un axe de symetrie ternaire. II n'est pas impossible,
au contraire, que le developpement de z commence aux termes du
troisieme degre. Le point,. ne cessera pas d'etre simple, mais
i'equation differentiel]e des lignes de courbure et celle des lignes
asymptotiques s'y presenteront sous une forme indeterminee.

276. II faut clone considerer ces points pour lesquels l'quatiou