Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

44/i ~~~L[VRE 1II. -CHAP. X.
portion du contour doilt se composer d'une ligne plane situ/iee dans
Lnplan (P.). D'apreis la deitermination de a-, cette portion dL1 COntour aura pour repreisentation plane une droitLe paralkie 'a Pun des
axes coordoinne's et sera, pa oncuent, fune ligne de courbure;
d'apre's la valeur attrib3ueie 'a u, cette ligne de courbure aura pour
representation sph6rique nn arc du grand cercie dont le plan est
paralidel "a (P). Done cette portion du. contour de la surface trouv~ee
sera bien une courbe plane situe'e dans un plan cjue la surface conpera normalementL et quti sera parallle ait plan7 (P).
On voit done cjue, dans chaque cas particulier, la surface minima. obtenue sera limite'e par une chaine composee de droites et
de plans, paralle'les 'a ceux qui avaien ete' choisis a prioul.i Mais
ici se pre'sente une seconde question.
274. Les directions des droites Ct des plans qui composent, le
contour de la surface obtenue sont bien celles des droites et des
plans de la chiai"ne dounne'. Mlais la solution ne contient, plus
qn'-une constante arbitraire, celle qui entre en factenr dans 7 et
qui est toujours reelle (K dans les premiers exemples, IH dans le
dernier): et, par conseiquent, clle ne pent donner que les surfaces
limitees par -Ln certain cont~our on. par tons les contours homothe'tiques. Or il est evident que deux. chainies, telles que celles
conside're'cs par M. Schwarz, ne sont pas fieicessairement. identiques oul homothliticues de's qu'eltes sont, composeecs d'edlements
parall~les. Supposons, pour fixer les ide'es, que le contour ne se
compose que de droites doit la direction soit connue. Le the'ore'me
des projections donnera seutlement trois relations entre les lougucurs des c0/s Si le nombre de ceux-ci est suprincur 'i 4, si
i'on a par exemple un hexagone, il y aura une infi nit/i d'hexagones
non homotheitiques dont les co't/is s~eront parallb~les.
On voit donc que les hypotheses faites pr/ic/idemment Sur la
surface chercheie sont trop limitativ~es. Alors Meime qu'elles pourraient /itre maintenues dans tous les cas, elies ne donneraient la
solution du problehne que pour des contours speiciaux. Elles pourrout Uire accepteics, et donneront certainement une solution du
proble'me quand la forme de la chain sr d/itermin/ie par la
direction de ses eile/iments c' est cc qui a li'eu dans tons les
exemples pric/idents; nmais, dans le cas o Ui la direction des eil/imcuts