Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

LE PROBLIEMAE DE PLATEAU. 414 3
demmentL (no 2268). Telle est la me'thode suivie par M. Schwarz
dans les Me'moires que nonLs avons analys~s.
273. Ici se terminent [es applications que noLus voulions donner
de la. me'Lhode generale,. Dans chaque cas particulier, nous avons
obtenu les valeurs de 7 et de it en fonction de t; il suffira. de
porter ces valeurs dans la formule (3) et de donner At t tonics les
-valeurs dont la partie imaginlaire est positive. Mals, pour completer
la the'orie pre'c~dentLe, ii nous resie 'a de'monirer que la surface Li
laquelle on est ainsi conduit donne effectivement la solution dui
probleme propose. Voici comment on pent eiablir cc r~sultat
e ssentiel.
On reconnaitra. d'abord aise'ment que le segment de surface (M)
nla aucun point singulier dans son inte'rieur. Ne'gliogeons ce premier
point, qni apparaitra. de la manie're la pius claire clans iine autre
me'thode que noues donnerons an Chapitre sui~vant, et qu'il est d'ailleuirs Lre~s aise' de de'monirer. Ii suffira done de prou-ver que la
courbe limit~e dii segment (M) se compose de droites et de courbes
planes, ci qui'elle peut atre iclcntifi~e' avec Ic contour donne' a
pr-ior-i dans chacjue cas particulier.
Pour le de'montrer, nous donnerons 'a I les valcurs re'elles, quii
fournissent tons les points de la limite du segment, e t nons supposerons d'abord quc t vanle seulement dans lFin-Lervalle auquel
doiLt correspondre une des droites (d) du. contour.
D'apre's la de'icrinaiia~on de, a', la portion conside'ree dui contour, etant represenueie sur le plan par tine parallel a' 1'une des
bissecirices des axes, sera ne'cessairemeDn tiune ligne asymptotique;
et, d'apre~s la de~termination de u, ceite ii-iene portion dii contour
anna pour representation sphe'rique un arc de grand cercic dont
le plan sera perpendiculaire 'a la droite (ci). Or toutLe ligne asympiotique qui admet un grand cercic pour reprfsentation sphe'rique
est n'cessairement une ligne dritOie c ar les tan gentes d'unc
ligne asympiotiquc sont perpendiculaires 'a celles de sa. representation sphd'riqne; ci, par consequent, drIes scront ici tonics penpendiculaires an plan du grand cercie. Ainsi cetie portion du
contour de la. surface trouve'e (M) sera une droite, par-a~lll
Conside'rons maintenant lun des iniervalles pour lesquels la