Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

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LIVRE IIl. - CHAP. X.

L'equation (I2) peut done se ramener a la forme suivante:
d20 dO
(I9) t(I-t)(I-k /2t) t-) 0 1 (Mt2 + N t - P) t -+ (MI' t - N') = o,
qui a te l'objet d'un grand nombre de recherches; car elle est la
plus simple de toutes les equations du second ordre, apres l'equation de Gauss dont elle pent etre consideree comme une generalisation (1). On n'a pu jusqu'ici l'integrer que dans un petit
nombre de cas particuliers; et meme les resultats obtenus dans
cette voie ne seraient pas toujours applicables i la question que
nous avons a resoudre.
272. Si le quadrilatere gauche a un plan de symetrie passant
par deux sommets opposes, la surface qui donne la solution dt
probleme de Plateau devra necessairement, si elle est unique
comme il est naturel de l'admettre, avoir le meme plan de symetrie
que le quladrilatere et, par consequent, couper ce plan a angle droit.
Par suite, si l'on se propose de determiner seulement la portion de
cette surface qui se trouve d'un cote determine de ce plan de symetrie, on sera ramene au probleme que nous avons resolu prece(1) Si l'on prenait pour p la valeur suivante
I I /t'
t (t~) 2 (l- t - I- )
on obticndrait l'equation m6me donnee par RIiemann (Gesanmmelte Werke, p. 3o8).
En substituant a t la variable ul definic par l'equation
t = S112 u,
et qui nc differe de a que par un facteur constant, on donnera a cette equation la
forme elegante
I 513 < I)\ i / ) I\ d2 -) / I — t k cn2 U 1 \
- -- S= l Zb - b) --- Z b + - b ) --- } - - - kJ sn2 s i2 Z + t
9 d62 - 1 - - SIt 2 x /i " an2" ItJ
I etant une constante arbitraire que l'on pent substituer a 1,. Dans un article
insere au t. XCIV (p. I645) des Comptes renldus, j'ai montr6 que cette dquation
peut 6tre int6grde, par l'application des belles melthodes de Mi. Hermite, de la
meme manier que q l'quation de Lame, qu'elle comprend comme cas particulier,
I I I I
toutes ]es fois que les nombres a, —I —, I -—, a- sont entiers.
2 2 2