Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

LE PROBLEME DE PLATEAU. 44I
permettent d'affirmer (n~ 135) qu'il sera toujours possible de determiner ces constantes de maniere a obtenir effectivement, par
le quotient de deux solutions particulieres convenablement choisies
de l'equation (12), la representation cherchee du quadrilatere
spherique sur la partie superieure du plan.
La representation plane (5) du segment cherche (MI) est dvidemment limitee par les c6tes d'un rectangle; on aura done
(n~ 132)
~~~(I6) C —\//H~cdt
(iG). — V =^ el
/t(l- t)(~ — /c ) t)
H designant une constante reelle.
271. On voit que la surface serait completement determinee
par des quadratures si l'on savait integrer l'quation lineaire (12).
Parmi les formes differentes que peut recevoir cette equation,
nous signalerons la suivante.
Adoptons pour la fonction p, qui peut etre choisie arbitrairement, une expression de la forme
el e2 e312
t t - I t-I
On de&ontre aisement que les termes en t, (t - ' (kI —t
pourront disparaltre de l'expression de q. Il suffit, pour cela,
que el, e2, e3 satisfassent aux equations
(ei- i)2 = 1 (e -I)2 I a, (e3- )2 -
Si l'on prcnd, par exemple,
1 — '-t I 3-+ I 0c:3 4- I
(17) P= t I /i2 t- I
on aura
(I8) 2 t(t - ) t(2 t - I)
|1) ~ ( 3 + 1i)( (,+ I)- i)k2 h + 2 k2 /h:3
t (t 1)(/ t-1) t( t —I