Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

LE PROBLEIME DE PLATEAU.

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de la surface situee dans ce plan sera representee surla sphere par
une portion du grand cercle dont le plan est parallele au plan
correspondant du contour. On voit done que la representation
sphelrique (S) dil segmen7zt (Mi) sera limitee par des ar7cs de,grcands cercles dont la position sera connue et quti se succederon t dans un o7clre parfaiterment deteermine.
Les deux aires (S) et (S) constituent deux representations conformes de la surface (M). Si celle-ci dtait connue, il est clair que
l'on pourrait obtenir une representation directe et conforme de
Faire spherique (S) sur laire plane (S). Inversement, si l'on a pu
determiner directement ce tracd gdographique de (S) sur (Y),
c'est-a-dire si. 'on a exprimde 7 en fonction de Zt, on aura
I d~~~
(2) ^)=;&
et, la fonction S(li) etant ainsi connue pour toutes les valeurs de u
qui correspondent aux diverses parties de (S), le segment (M) sera
pleinement determine. Nous somrnes done ramenes a la solution
du probleme suivant
Reialisel-r ure representction conforme d'uzre caire sphe'-ique (S), liUmitee par dces arcs. de gands cercles, sur unze aire
plane (S), limritee par des droites.
Or, cette solution est contenue implicitement, au Lmoins pour
les cas les plus simples, dans les ddveloppements donnes au Chapitre IV du Livre II [p. 7o]. On representera les deux aires ( )
et (S) sur la moitie superieure du plan, ce qui donnera a et u en
fonction d'une variable t assujettie a la seule condition que sa
partie imaginaire soit positive. Puis on portera ces valeurs de u et
de o dans les formules de IM. VWeierstrass, ofi l'on aura remplace
' (t) par sa valeur tirde de la formule (2); ce qui donnera
\ x = Ce9 / ---- d5,2
2 (/ d2
z clzc
(3) 1- IL t
z et C- etant des fonctions connues de la variable t.
D. - I. 28