Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

432 LIVRE III. - CHAP. X.
geographique dans lequel, flous lavons vu. (no 204), les ligues de
courbure auront pour repre'sentation des paralli'es aux axes coordonne's, Landis que les lignes asy-mptoticjues seronL represente'es
par des paralle&Ies aux bi-ssectrices de ces axes.
La consideration simultane'e des deux repre'sentationS conformes
precedentes ioue un role capital dans les raisonnements qui vont
suivre et conduit par une -voie naturelle 'a la solution du probleme
propose.
Si l'on de'coupe sur une surface minima un segment limite' (M),
a~ connexion simtple et ne contenant aucun point singuLAlier dons son
inheirieur, linte'grale a- sera, souls certaines conditions qute nous
indicpieron s PILus l oin, une fonctLion u niform e ay antL un e va le or finie
et bien determin~e' pour chacque point de (MI). La representation
plane de cette portion de surface sera alors une aire plane, linite'e,
ai connexion simple, qui pourra, dans certaines parties, se composer dle plusieurs feuillets et, qui se terminera 'a la courbe dont
les points correspondent "a ceux de la limite de (MI). Or, si lon
velut quie (MI) soit lirnitee par- des clrottes out par~ des plans
qut'elle coutperaW 7norMaleinent, les dijf-erenltes portions dia conztour ser-ont des igne s asym-iptotiqutes de la sarfee si cites son1t
des dr-oites', out des lignWes dle courburie si elies sont dans les
plants qule la suija~ce cloit couiper- 7normalement. Par cons~quent,
it leur correspondra, dans le trace' ge'ographique plan, des paralides
aux axes coordonne's dans le second cas, et des paralte'les aux bussectrices de ces axes dans le premier. Ainsi ce trac6 g-eograplaqute se C07inposera d'une alcre plane (E) linittee par- des
dro Ucs clont la directio all 1o inls sera connue et gui se suecc(ederont clans an7 or-dre detlermine.
f]tucions miaintenant la representation sphe'ique de (MI), Elle
se compose d'uLne aire (S), pouvant recouvrir phisieurs fois certames parties de la splhere; miais il re'sulte, -comme nouis le verrons,
des hypotheses failes sur G, que cette aire (5) n'a aucun point cle
raificaion dans son inte'rieur. lci encore on Peudtemnrl
courbe limite de (S). En effet, pour chaque portion de droite
comprlse clans le contour, la representation sphe'rique sera un
arc, plus on momns e'lendu., dub grand cerele dont le plan est perpendiculaire 'a cette droite. S'il y a, dons le contour considers', des
plans qu~e la surface doit couper 'a angle droit, la courbe limnite