Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

LE PROBLEME DE PLATEAU. 429
en I87I sous le titre suivant: Bestinmnzzln7 einere speciellen
AIinitalfJldche (1). L'auteur y aborde, cette fois par des methodes dir'ectes, la determination de la surface minima passant
par les quatre cotes d'un quadrilat.ere gauche, et il montre que
l'on pourra donner la solution complete du probleme dans le cas
particulier ouf le quadrilatere gauche es t assujetti a l'unique condition d'avoir un plan de symetrie, passant necessairement par
deux de ses sommets opposes. II considere en particulier, comme
Riemann dont le AMemoire etait encore inedit a l'epoque out
M. Schwarz communiquait son travail it l'Academie de Berlin,
le cas remarquable ouf les quatre c6tes du quadrilatere gauche
sont les aretes d'un ttraedre regulier; il retrouve alors la surface
deja definie dans sa Communication precedente; on l'obtient en
faisant, dans les formules de M. Weierstrass (n~ 191),
5(z~) -=
1 — i4 u'1 i- 1ts
Enfin, dans-un Appendice cqui termine le Memoire, l'eminent
geomnere fait connaitre certaines surfaces minima, pour lesquelles
la fonction if(u) est l'inverse de la racine carree d'un polynome
du huitieme degre, et qui contiennent des droites avec lesquelles
on peut former des polygones gauches d'une nature speciale,
limitant certaines portions de la surface. Supposons; par exemple,
que, dans un parallelepipede rectangle, on supprime les six aretes
qui aboutissent a deux sommets opposes; il restera un hexagone
gaucle, par lequel on pourra faire passer une des surfaces definies
par MA. Schwarz; la portion de surface limitee par cet hexagone
sera simplement connexe et ne contiendra aucun point singulier.
26G. Un autre travail du mLme auteur, Foi'tg.esetzte Unttersuchun zen ilber specielle Ilniinizaliflichel/, imprinie en i872 (2),
contient l'teude detaillee et la solution complete d'un probleme
propose en ces termes des 18i6 par Gergonne (3):

(t) lHarrwitz und Gossmann; in-4to, Berlin, I871.
(2) Aionatsberichte der K. P. Akadeemie; janvier 1872.
(3) Annales de Gergonne, t. VII, p. 99.