Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

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32 ~~~~LIVRE I.- CHAP. Ill.

donne la distance de deux points infinirnent voisins. Mais on pout
atsiles obtenir par l'erploi de la formule qni exprime, dans lc
syste'me de coordon~nces x, y, la distance de deux points quelconques de la sphe~re.
Soient, en effet, Mll Ml' deux poiD Ls do coordonne'es x, r; xi, y'.
On aura, en d 'signant. par MM' lFarc de grand cercie qui los
Fe unit,
(l'oti l'on de'duira
() l Al'P (X - X)(y -y') AN AllM (X - y) (y -~ X)
CO2 si2
Ces fornmules, que j'ai de'ja donne'es avec plusicurs autares en
i8;-21) peuLvent encore s'ecrire sons la forme
AlM'A MM'
cos2 - _-R (x, y', x', y), Sijp12 - ___ -R (x, x', y', y),
R(a, b, c, ci) de'signant le rapport anbarmonique des qnantite's
(t, b, c, d. Ii est clair que ces expressions dernourent invariables
q~uand on applique aux coordonne'es des denx. points 1'une od,
I'antre des snbstitutions (2) ou. (3). On voit qne ces substitutions ne changent, pas la distance sphe'ricque de deux points quel.con ques; cules no pouvent donc que romplacer une figure (F) par
Liefigure e'gale ou. synmetricque, cc cqui confirme la proposition
dhrjvi obtenue.
ii re'sulte de cc qui pr'ce'de qne, si l'on considere quatre points
quelconques M, M', Ml", Ml"' 'a la snrface de la sphe~re, le rapport
anharnmonique des valeurs de la coordonne'e x relatives 'a ces quatre
points demeurera constant quand on de'placera d'une manie're quelconqne la figure invariable forinee par ces quatre points; en d'autros termos, ce rapport anharmnonique no depend cjue do la forme
du quadrilate're. On en connait diffe'rentes expressions quo jo no
in' arreterai pas 'a etablir. It notis suffira. de savoir qn'il domeure
constant quand le quadrilate~re se de'place sans so de'former.

(1). G. DARBOUX, Meirnojie sut, un~e classe remnarquable de cou;'bes et de swnfaces algebriques, P. 212.