Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

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426 ~~~LIVRE 111. - CHAP. X.

tion des coordonne'es,1 oil tout de'placemtent, s'exprirne par une
substitution line'aire particulie're efjfectuzee Sur7 la variable
complexe, proposition dont l'importance et l'mnt're't n'ont etc'
pleinement reconnus que depuis la publication des beaux travaux
de M. Klein relatifs "a Fintegrati on des ecjuations line'aires dui
secod odre?il'iosadre et 'a la r'solut~ion des 6quations alge'briques.
La seconde Partic dui lebmoire est presque entie'rement con sacr~ee
'a la determination de la surface minima limite'e par un polygone
gyauche douti tons les co'tes soni rectilignes (1). Riemann n.'exclut
In eme pas le cas oiiile contour serait partiellement ouvert et oci la
surface devrait avoir des segments infinis, analogues 'a ceLte portLion de Fh'hlicoide gauche 'a plan directeur qui s'etend 'a l'infini
cntre detix ge'neratrices rectilignes de la surface. Apre's avoir de'
vreloppe' la solution generale dii proble'me, solution qui exige la
formation, toujours possible, d' une eqnation diff~rentielle line'aire
etL la resolution d'un syste~me d'eiquations transcendantes dont
1Itaude est laisse'e de c~t6, an. momns dans le cas generl Rimn
aborde ]es applications et examine successivement les contours
suivants
10 Deux droites in~fiies qui ne sont pas dans le ine'nieplan.
Si 1'on suppose que le secteur infini s'e'tendant entre les deux.
dtroites n'a pas de dliscontinuite' ni de point de ramification, on
trouve Fh'hlicoide gauche 'a plan directeur.
20 Trois droites., doiit deux se coupent, la troisie'me e'tant
paralleile aut plant des deux aultres.
Sous les reserves pr'ce'dentes, la solution, ici encore, est coniplete et les forniules deifinitives souL obtenues.
3, Trois droites place'es d'une man iere qutelconque dans
i'espace.
(I) Riernann y montre aussi que Ion pent r6soudre le problme de Plateau
pour le cas ois le contour est compos6 de deux cercies quelconques situ~s dans
deux plans para~l~les. II suffit d'adMettre que toutes les sections d~termin6es par
des plans paraib~les aux plans des deux cercles soot des cereles. La sui'face obtenue depend des fonctions elliptiques.