Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

SURFACES INSCRITES DANS IJNE DEVELOPPABLE. 423
donc que l'on aiLftd
dy1 -I 0
oil
(26) X= dy1 dy I
ds dit
Cette forr-nule si simple r~sout coniple'LemenL le probid'ine propose; on choisira arbitrairementy,, et cite donnera x,.
Si l'on fait, en particulier, xi 4 zy4 o, on retrouve la soluition
parLiculie~re, donnee au no 25i8. On pourrait aussi prendre
-i~O oy, - k, k de'signant une cons [ante quelconque, ce qui
donnerait une solution particulie're nouivelle, un peu plus generale
que la preceden ce; mais il esL pre'f~rable de re'soudre 1'e'quation (26) par de simples constructions ge'ometriques.
Pour cela, nous construirons, d'une maniere quelconque, tine
surface re'gle'e (K') dont les ge'neratrices soient perpendiculaires
axplans tangents de (A), et nous me'nerons le plan perpendienlaire 'a chacune des ge'neratrices de (K') en son point central. Les
diff~renLs plans ainsi obtenus envelopperont une de'veloppable (A')
pour laquelle on aura e'videmment une solution du proble~me
propose, fournie par'la surface re'gle'e (K'). Comme les angles de
conatingence et de torsion sont les Mmines pour les aretes de rebroussement de (A) et dle (A'), la solution fournie par (K') relativement 'a (A') fera connaitre les, fonctions les plus generales x4,
y1 v'rfiant 1'e'quation (2-6). Ii sutfira done, pour avoir la solutior
ge'rl d rohme pose, de construire la surface (K) dont
chaque ge'neratrice a, parpprta tidre (T), relatif 't un point
de l'arete de rebroussement de (A), la M eme position quc la ge6 -neratrice correspondante de (K') par rapport an Lriedre (T') dont
les are~es sont paralld'es "a celles de (T) et qui est relatiF an point
correspondant de iFarkte de rebroussement de (A'). En d'auLtres
termes, pour avoir la droite de (K), il faudra imprimer 'a la droite
dc (K') une translation egale 'a celle qui am- enerait le, trie'dre (T')
en coincidence avec le trieidrc (T).