Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

SURFACES INSCIRITES BANS UNE DEVELOPPABLE. 421
de l'infini. Or il est ais6' d'e'tablir, soiL par l'Analyse, soil par la
Ge'ome'trie, la proposition suivante:
E9tant donn17Ie uine surface r-egle'e, si, par une de ses oeneratrices., on m ene les de ux p lans t angents au cercie de Vi'm/mi, Ie
segment form6 par les cleux points de contact de ces plans a
pour milieu lepoint cenltral1 de la generatrice; de plus il est
egal au parame'tre de distribution mul t 1ip liepa r 29 i ()
ll suit de la" que la surface moyenne est le lieu des lignes de
strition cle toutes les sur7faces re'glees forme'es avec des droites
de la congruence, et que le pa7rame'tre de distribution est le
meme pouir toutes ccelies de ces surfaces qui contiennent un7e
nmeme ciroite de laC~ congrence. M. Ribaucour, a. qui sont dus ces
resultas, les a obtenus par des me'thodes qui en font moins bien
cnatre la vwritable origine.
La generation precedente conduit "a une solution tre's simple dui
proble~me que nous avons a re'soudre. En effet, si l'on considere
une de'veloppa'ble (A) circonscrite 'a une surface minima, les droites
aiq perpendicuLlaires aux divers plans -tangents de (A) formeront
une surface re'gle'e dont la ligne de striction devra e'tre de'crite
par le point de la droite ay. quii se trouve dans le plan tangent.
correspondant de (A). Nous sommes ainsi conduits "a la proposition stuvante
Pour obtenir toutes les surfaces minima inscrites dans laI
(I) Si l'on prend, en effet, la droite pour axe des z, le plan central pour plan
des xz et si l'on place lorigine au point central, la surface rigl~e a, en tous les
points de la droite, les rn6mes plans tangents que le parabolo~de d6fini par l'&qua aion
of est le param~tre de distribution. Pour un plan tangent an cerele de linfini,
on doit avoir
x
On obtient done pour z les deux valeurs
d'oti r6sulte imrn~diatement le thdor~me.