Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

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4i8 ~~~LIVRE III. - CHAP. IX.

leurs d u-ne manie're quelconque; nous allons montrer comment
les re'sultats precedents cond~iisent 't la proposition de lM. Lie.
Reportons-notis aux formules (i6) que nous e'crirons sous la
forme suivante
(25) (zO-~~TXOdzO
en introduisant les angles de contingence et de torsion, ds-, d-; et
supp~osons que l'on ait dktermine' la surface minima correspondante 'a une valeur particuilie~re x' de x,. Si l'on veut obtenir la
solution correspondante "a la fonction algelbrique la plus generale
que nous mettrons sous la forme
WI -1- xi
il faudra ajouter aux valeurs trouve'es y', zo, x' de y0, zo, x des
termes y,' x" que l'on obtinriprsuite de la forme I'neaire des equations ( 25), en remplacant dans ces 'quations xO par
et supprimaut les termes ~ p- qui ne contiennentL pas xoI
c' est-a'-dire en faisant
Tzz 0
cc qui revient "a supposer que la de'veloppable (A) se re'duit 'a un
Cone. En particulier, la quantite' x" qu'il faudra ajouter 'a x' sera la
M eme que si la de'veloppable (A) se re'duisait 'a un cone; cette remarque, jointe "a la construction deja donnee (no 257) pouir le cas
particulier du Cone, nous conduit ati theulore~me de M. Lie
Si l'on a obten utItne Sur7face minima (M) inzscrite dans la de6 -veloppable (A), on- construira la courbe algebrique (C) la plus
g-eneale dont les tan gentes sont perpendiculair-es aux plants
tangents de (A) et l'on portera sur- chaque g-ene'ratrice de (A),
a par-tir- du point de contact de cette g'ene'rat7rice apec la surface (M), une longueur egale au rayon, de courburfe de la co urbe
(C) au poi nt corriespondant. L'extre'mite' de cette longaeur d~crir-a la courbe de contact de la surface minima alge'brique la
p)1us g-e'nei'ale inscr-ite dans la chv~eloppable (A).