Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

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LLVRE III.- CIAP. IX.

NN' sera 'axe du cercle osculateur e le point M0 le centre de
courbure de (S). On est ainsi conduit a la construction suivante,
qui est due a M. Lie (I):
Pour obtenir la surflace minima algebr7iqute la plus geeeracle
insscrite cans tun codne al.gebrique, on const7ruiraa une courbe
algebriqze quelconque (S) dont les plans osculatelurs soient
perpendicula'res aux gener7attrices du cone, et 1'on portera. sit'
chaccune des gene'ratrices duc cone, a partir dul sommeet, une
lon gueur egale au rcl)ayo de courbure de (S) au point co-rrespondant. L'ext7'emite de cette longueulr dc'crira sur le cone
la courbe (C) de contact d'lune sur7face zitinma algebriqule.
intscrite dans le cdne; la surlface adjointe de cette szurface
miniima contiendra le lieu des centres de couzrbure de (S).
258. Nous indiquerons une autre application particuliere relative au cas ou la courbe (S), mentionnee au n~ 256, se reduit
-un point. S'il en est ainsi, les composantes (17) du deplacement
du point S devront etre toutes nulles, et l'on aura a ajouter aux
equations (18) la suivante
clz'- -C s = o,
qui nous donne
dz'
Comme on a d'ailleurs
clI'
l'expression (28) de x prendra la forme
(l(z- z')
x - o- -4 -ds
ou, en tenant compte de l'equation ( 9),

(') Mathematische Annalen, t. XV, p. 4/88.