Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

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LIVRE I. - CHAP. III.

CHAPITRE 1II.
INTERPRETATION GIEOMITRIQUE DE LA MEITHODE DIVELOPPEE
DANS LE CHAPITRE PRTECEDENT.
]lude des coordonn6es symntriques dans le cas de la sphre. - Interpr6tation
geometrique dune substitution lineaire effectuee simultanement sur les deux
coorconn6es. - Formules d'Euler et d'Olinde Rodrigues relatives a la transformation des coordonnees. - Reprdsentation de la variable imaginaire par un
point de la sphere suivant la m6thode de Riemann.
23. D'apres les developpements precedents, on voit que l'intgration de tout systemne d'equations lineaires a trois inconnues, admettant une integrale homogene du second degre, se ramene a celle
d'une equation de Riccati, c'est-a-dire a celle du systeme lineaire
le plus general a deux inconnues. I1 nous parait interessant de jstifier et d'expliquer ce resultat parquelques considerations de Geomietrie pure. Pour cela, nous allons faire une etude rapide du systeme
des coordonnees curvilignes x, y, qui determinent les points de la
sphere de rayon I, et qui sont definies par les formules (9).
Par un calcul elementaire, ces formules nous conduisent a la relation suivante
(1) dc1%2- v-d92- d+1-.13 dX dy
(x -y) 2
qui fait connaitre la diff6rentielle de l'arc decrit par le point de
coordonnees curvilignes x, y. On voit que cet are sera nul quand
on se deplacera sur l'une ou I'autre des generatrices rectilignes de
la sphere: c'est la un resultat bien conni; mais la formule (i) va
nous conduire a d'auLres consequences.
24. Son second membre jouit de la propriete de se reproduire
quand on soumet x et y i une meme substitution lineaire. Posons
en effet
ac ax b ayl - b
(2) x=z, y y ---
cx -cl cyf-cl d