Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

SURFACES INSCRITES DANS UNE DEVELOPPABLE.

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dxco, dy) et dx, Cdy, on sera conduit aux deus relations
(3) V/clx2 + ay' = dzo0,
(4) V/cx, c dz,
qu'i[ serait aise d'obtenir par la Geometrie et qui demontrent Ic
theoreme de MA. Henneberg; car la premiere, par exemple, exprime que l'arc de la section droite du cylindre circonscrit a (S)
est egal i z0.
II resulte evidemment du theoreme de M. Henneberg qu'une
surface minima inscrite dans un cylindre ne pourra etre algebriqce
que si la section droite de ce cylindre est la developpee d'une
courbe algebrique. Considerons un cylindre (C) pour lequel cette
condition soit remplie et dont la section droite (S) sera placee
dans le plan des xy; proposons-nous de determiner toutes les
surfaces minima algebriques inscrites dans ce cylindre.
Designons par x, y les coordonnees d'un point quelconque de
(S); le probleme sera relsolu si nous parvenons a determiner les
quantites deja ddfinies xo,,0, zo, o en fonction de x et dey. La
formule (3) nous donne d'abord
zu,= s,
s ddsignant l'arc de la section droite (S); les equations (i) et (2)
nous permettent ensuite de determiner dxo, cdy0 et nous donnent
(5) dxO =- - Cx, y do0 =-c -dfd;
z sera done, au signe pres, l'arc de la courbe decrite par le point
(x0, yo), et l'interpretation geometrique des formules conduit sans
difficulte a. la construction suivante
On associe, cans Ie plan des xy, a la courlbe (S) une courbe
(S0), assujettie a l'unique condition d'e'tlre el dle'veloppee d'une
courbe algebrlique, et l'on etablit une correspondance entre
les deux courbes par la condition que les tangentes aux points
correspondants M, M0 soient paralleles. Si l'on eleve en Al
une perpendiculaire au plan de (S) egale et de signe contraire
&a 'arc de (S0) termine en M0, I'extre'nite de cette perpendiculaire decrira sur le cylindre (C) la courbe de contact de la