Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

LES FORMULES DE M. SCHIWARZ. 4o3
et que, si cette courbe a un axe, le plan normal an plan de (L) et
passant par ceL axe sera un nouveau plan de syme'Lrie de la surface..
On pent donner encore la construction. suiv~ante de la surface
qui admet (L) pour ligne geode'sique -Suir le c~ylindre ayant (L)
pour section droite tracon's tine courbe minima (y) et prenons la
syTmetrique (y)de cette courbe par rapport an plan de (L). La
surface cherche'e sera le lieu des m.Ilieux des segments dont les cxLre'mites de'cri~vent les courbes (y), (y, ).
La surface minima admettant comme ligne ge'odesicpuc tne parabole a e'te ktudie'e dans les premiers Mernoires de MI. Catalan.
Si Pon prend les coordonne'es d'un p:oint de la parabole sous la
brine ~ ~ ~ ~~ -Psi2T
Jy 2P 1sina(2,
la partie re'elle de la surface sera delfinie par les equations
(p[(2? sinflQ)1
Si l'on donne a T une valeur reelle, on reconna-It cue la section
dle la surface par Ie plan des xz est -une cyclo~de. Cette courbe,
situee dans le plan de synmetrie passant par l'axe de la parabole, est
aussi Une ligne ge'ode'sique de la surface.
La surface miinima. admett~ant comme lign e 9'od'sique -une
ellipse on une hyperbole est ne'essairement transcendante; mais
elle adruet, on le reconnialt aise'mentL, une famitle de lign es alge&lbricjues. Elle a e'e conside'ree par Mv. Schwarz (' ).
Not-s ternunerons ici ces applications des formules de
AM. Schwvarz. Comme Fa rem arque' M. 0. Bonnet, la solution du
proble'ne e'tudie' dans ce Chapitre permet de determiner une surface minima lorsju,'on connlait,'soit Une de ses lignes ge'od'siqu~es,

(') SCIWARZI, Ueber diejenigen Minjimaljiichen, fvelclhe 1von doier Schaar iion.
Kegelin zoveiten Gradles ein-ehiillt veclden (foiurnalcde CrelI, t. LXX\,