Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

LES FORMULES DE Mi. SCIIWAI\Z.

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s etant l'arc de la courbe, et les formules ('24) prendront la forme
a"1 x T-,T.-) i rj
x ---. cos 3,
w --- y- *r^? -^fcos-, 3 d,
~~~(26) -- Y' ~ Clx,
\ 9,2,.2
f sin,3 cls.
Si l'on veut que la ligne (L) soit une ligne de courbure de la
surface, les normales en tous les points de (L)devront envelopper
une des developpees de la courbe et l'angle f devra etre constant.
On aura alors
x - il cOS p x2-t iy, cos 3
(27) y' = '2 2, i(sl - s,) sin p
2
Les deux courbes minima dont la translation engendre la surface
seront definies par les equations
(28) x- x i cos, Yl - i.Tl cos, _ is sin 3
(28) x'= --, y '=, = --- ~
Pour qu'elles soient algebriques, iL faudra encore que (L) soit
la developpee d'une courbe algdbrique; on a done le theorelme
suivant, du a M. Lie:
Po0tr que lc surface lnzinima adnettant ut7e ligne cde courbu7re plane soit alolebrique, il fatt et il siuffit que cette lig'ne
plane soit la developpee cl'une courbe algebrique.
Cette proposition generale explique pourquoi les lignes de
courbure planes de la surface d'Enneper sont des courbes rectifiables (n~ 207).
Si l'on suppose,3-, la courbe (L) devient une ligne geodesique de la surface. On retrouve done le theoreme suivant
Pour qute la surface minimza ac dmetlant comine ligne ge'odcD. - I. 26