Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

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398 ~~~L[VRE III. - CHAP. VIII.

demonstration tre~s simple du the'ore'ne de M. Catalan:La seale
suriface mninima 7delle 7Ug le~e es t la surface de vis I filet carr.
Conside'rons en eflfet, si. elle existe, la surface minima engendr~ee
par le mouvernent d'tne droite re'elle et soient (d,), (d,) deuK.
positions de cette droite. La droite (d,), syme'trique de (d,) par
rapport 'a (d,), apparti~ent encore, d'apre~s la proposition pr'ce'dente, 7 la surface. En prenant de M eme la syme'trique de (d,)
par rapport 'a (d. ), et re~pe'ant inde'finiment cette operation, on
obtiendra une se'rie de droites
cqui seront toutes sur la surface et qui appartiennent e'videmnment
a tout he'licoide gauche 'a plan directeur qui contient les deux
premieres (d) et (d.,). Si inous conside'rons, en particulier, le plus
simple de ces he'licoides, celui pour lequel. il.faut faire momns d'u-n
demi.-tour sur la surface pour passer de (d, ) 'a (d2), on voit qu'il
contiendra un nombre i1limit6 de droites e'quid~isLantes de la surface minima. Si les deux. droites (d, ) et (d,) se rapprochent surla surface, les droites communes a l'hdlicoide et 'a la surface se
rapprochent inde'finiment: la surface doit donc coincider avec la.
position limite de Fh'hlicofde, cc qui de'nontre le the'oreme de
M. Catalan.
Nous allons exposer encore la demonstration que M. Schwarz a
donn~e d m~e thote preq'elle repose sur iine ideinnieuse et f~conde. Lorsqu'une surface re'gle'e contient une droite,
les plans tangents en tous les poinis de ceLte droite ne sauraient
etre choisis arbitrairement et sont assujettis 'a la loi de'couverte
par Mv. Ch-asles. Si l'on prend la droite comme axe des z et si l'on
choisit convenablement les autres axes coordonne's, les plans
tangents de la surface doivent etre les M emes que ceux du paraboloide de'fini par l'6quation
oii a de'signe une constante. De 1A resultent, pour les cosinus directeurs de la normale en chaque point, les determinations
z ~ ~ V2~