Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

LES FORA~IULES DE M. SCHLWARZ.39

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culte', mais elle offre de l'inte'ret an point de vue de la the'orie generale des equations aux de'rivees partielles.
249. Les forinules de M. Schwarz conduisent 'a un grand nombre
depropositions int'ressantes que nous allons faire connaitre suece ssivemen t.
Cherchons d'abord les surfaces minima contenant une droite
reelle donne'e et admettant aux. diff'~rents points de cette droite
des plans tangents donne's. Si 1Pon prend la drolte pour axe des z,
les formules (6) deviendront ici
y X- Xdz~~ X dz)
X et Y satisfaisant 'a la relation
20) X2 %-Y2 -.
On voit imme'diatemenL que, si 1'on eichange z, et Z2, Z' ne
change pas, x' et 11 changent de signe sans changer de valeur.
Done
Toutie dr-oite rdeelie tr-acee stir tine sur-face minimia est ne'cessaireinent tin axe de sy~ne'trie de cette surface.
Cette proposition e'legante, due 'a M. Schwarz, conduit 'aun
cercle de l'infini est aussi l'ar~te de rebroussement cle cette de'celoppable; on
l'obtienlt en prenant le milieu de tous les segments qui rditnissent les points M,
M. des COUr-bes (r), (r, ) oit les tangentes & ces courbes sont paralhles. Touls
les points de (C) sont des ombilics; cette ligne est une ar~te de rebroussement
cle la surface minima, elie satisfait &~ la definition des lignes asymptotiques
et aussi &~ celle des lignes de COUr-bure.
Les deux courbes minima dont la translation engendre la surface ne cessent
pas, dans leur mouvement, d'~re tangentes &t la courbe ( C), en sorte que l'on
pourrait de~finir la surface minima comme engendre'e par la translation
d'une courbe minima (K) qui, danIs Son mo'1upement, est assujettie d demeurer
tangente &i une autre courbe minima ( C).