Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

LES FORMULES DE M. SCHWARZ. 3 95
tine courbe minima. On obLienL ainsi par un calcul facile les
valeurs suivantes de dA, dB, dC
d A. ('Ydz- - Z dy),
(iv) ) dB ~' (Z dx - X dz),
dC h(Xdcy -Y dX);
d'oii lPon d'duit, Ftlaide des formle(4)
clx
(i8) dB,~ '_ (Z dx - Xclz),
dC, -5 L t(X dry -- Y dx),
les signes se correspondani dans les deux syste'mes. Prenons, par
exemple, les signes infe'rieurs et supposons effectue'es ies quadratures qui donnenL les expressions de A, B, C; A,, B4, C1 en
fonCtion. de "A. On peut otoujours determniner les constantes qui
entrent dans ces quadratures de mnanie're 'a satisfaire aux. equa Lions
(i), et P'on retrouve ainsi les formules de M. Schwarz.
248. La ne'thode precedente peut atre ge'neralise'e; elle s'appliquerait, par exemple, aux. surfaces engendre'es par la translation,de deux courbes dont 1'une satisferait 'a 1'equation diffGrentielle
et lFautre 'a Line equa Lion de ne~me formne
(dx dry
Elle offre surtout l'avantage de lbiell mettre en evidence les cas
d'exception; uls correspondent, nous allons le voir, at ceux. qui
sont indique's par les tbe'ories generales de Cauchy.
Nos raisonnernents supposei-A en effet que les Lrois e'quationS
(12), (i 5) et (iC6) deLermninent dA, dB, dC, cc qui n'aur~a pas lieu