Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

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LIVRE Ill. - CHAP. VIII.

il restera seulement, six equations distinctes (9), (i o), (i 2-) eL (i 4)
quii permetironi, en general de determiner les diff6rentielles
d-A,..., dA I...
DWdiisons en effet des equations (i4/) les -valeurs de dA1, dB1,
dC, ci portons-les dans la relation (i o), nous aurons
(135) lxclA — d~y dB — dzcldCz
s de'signan.L Fare de (L). Cetie equation, joinie aux deuix relations
(9) e i (92), donL I'uine est dii second degre', va nous donner les valeurs de dA, dIB, dC.
A eeL effeL, prenons coinnme inconnue auxiliai~re ()le deiermmnan I
x YZ
A dxv cl} (lz
dA dB dC
si on 1e'leve an carre, en effeciuanL la multiplication des lignes
en~tre elles el tenan-L compie des relations precedences, on Lrouivera
1 0 0
~2 - 0d 2 - cis —
d 24
0 - 0
12
On a donc
A = (Y dz — Z dy)cl dAs
(i6) ~~(Z dx- Xdz) dB +-(X dy- Ydx )dC 2
eti Fon estL ainsi ramene6 an sysLe'me des Lrois equaiions (12 ), (m5)
et (i6) qui sont Lout~es dii premier degre'. Le determinant de
ces equaiions e'tanL e'gal 'a s2 elles pourront Loujours tre re'solues tant que le contour (L), reel ou imaginaire, ne sera pas
()Toutes les fois que Ion doit r6soudre no syst~me d'6quations al-6briquecs
dont la resolution peut se rarnener Ai celle d'une 6quation du second (legre A unle
inconnue, il y a avantage hs prendre comme inconnue auxiliaire le dUterminaIIt
fonctionnel des 6quations par rapport aux inconnues; car ce ddterminant, s'annulant dans le cas oft les deux syst~mes de solutions se rdduisent At un seul, nc
peut qu'6re 6gal At la valeur du radical qui doit figurer- dans les formules ddfinitives et, par cons~quent, son carr6 se calculera rationnellement.