Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

LES FORMIJLES DE M. SCHWARZ. 393
que nous allons faire connaltre, parce qu'elle peut &re g'n'ralis'e
et appliqude' 'a d'autres questions analogues.
Reprenons les equations d'une surface minima sous la forme
generale
otles fonctions A, B, C; Al1, B1, C1G satisfont aux relations
(9) dA2 d —cB2 -+ cC2 -0
Pour cjue la surface contiennie la courbe donne'e (L), il faudra
que, x, y, z de'signant les coordonn~ees d'un point quelconque de
cette courbe qui sont des fonctions connucs d'u~n. pararnetre ),, on
puisse determiner pour t et des fonctions de,) satisfaisant aux
Lrois equahions
D'autre part5 si X, Y, Z de'signent les cosinus directeurs de la
normale 'a la surface au point considers' (x, y, z) de la courbe (L),
it faudra exprimer que Ie plan -tangent contient les tangentesau
deux courbes minima de Ja surface qui passent par ce point, cc
qui donnera les deux equations
(12) X dA -Y dB~-Z dC = o,
(i3) X dA1~Y dB, ~-ZcdC1 =o,
qui., jointLes aux precedentes, expriment toutes les conditions du
prob1e'me. Diff~rentions les equations (i i) en supposant que l'on
se de'place sur la courbe (L); on aura
dr = dA ~~ dA,
(14) dy =dB -v- dB,,
dz = dC -i — dC,.
En vertn de ces relations et de e'~quation e'viden~e
X dx -+- Y dy -v- Z clz =
qui exprime que le plan tangent contient la tangente 'a la courbe
(L), et qui doit L~tre e'6rifie'e par les valeurs donne'es de X, Y, Z,
les deux equations (12) et (i3) se rame~neront l'une "a l'autre, et