Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

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392 ~~~LIVRE III. - CHAP. VIII.

et la partie r~e'ee de la surface sera de'finie par les equations
x ~~x~ (ZdlY -Y dz,)1
(8) ~~yzc>~bzr~ (Xdz-Zdx)]
Z A (Y I d)]
o Li l'on devra donner 'a une valeur irnaginaire quelconcjue.
11 re'sulte e'videmment de la me6Lhode precedente que la surface
de'finie par les 6quations (6) ou (8 ) esL la seule qui puisse sat'istaire "a toutes les conditions pose~es et il reste seutlement 'a demontrer qu'elie satisfait effectivernent 'a ces conditions. Or, si 1'on remnarque que, d'apre~s leur definition M eme, les fonctionsi))
ON(),... veirifient les relations
d,,L2cbdbId 3 2 o, X dL,~Y dVit1 —Z d3-j o,
on reconnaitra aise'ment: io que la surface obtenue est une surface
minima; 20 qu'elle passe par le contour (L) et y admet en chaque
point le plan tangent donne'; dile fournit donc bien la solution
unique du proble'me propose.
En resume', la m6thode de M. Schwarz repose sur les deux
propositions suivantes 1
Une surface milniina est, pleinernent dkertr-ninee quanid on
donn~e uine cour7be analytique tr-acee sayi cette sur~face et la
cour-be corriespondante tr-ace'e sur- la surface adjoiizte.
Lor-squ'on connait sur- nine surfatce 7ninima nine courbe (L)
et les plans tangents en chaque point de cette cour7be, la coarbe
Cor-respondante de la surface adloinlte peut e'tre de'ternintnee
par, de si mp les quadrattures.
247. Dans son Me'moire sur les, surfaces minima ('), M. Lie -t
donn6' pour les formules de M. Schwarz une demonstration nouvelle

(1) Mathematisclhe Annalen, t. XV, p. 467.