Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

LES FORMULES DE M. SCHWARZ. 391
courbe analytique, reelle ou imaginaire, et si les fonctions X, Y,
Z, qui doivent deja satisfaire aux deux equations
X2 -+ Y2- Z2= I,
X dc - Y dy - Zd- = o,
sont aussi des fonctions analytiques de ), c'est-a-dire si x, y, z;
X, Y, Z ont une signification determinee aussi bien pour les
valeurs imaginaires que pour les valeurs reelles de X, il en sera de
meme evidemment des fonctions &0, Jb, 0;.i9, ib), 0 qui devront
etre regardees comme completement connues et fourniront la determination complete des deux courbes minima dont la translation engendre la surface. En remplacant ces fonctions par leurs
valeurs dans les formules precedentes, on aura pour les coordonnees x', 'Y,Z' d'un point quelconque de la surface les valeurs
suivantes
xi 4- X.-)
X + x, (Y clz - Z cy),
2 2 '(6) Xy, =.r +y2 i (z-_ )
z ' - (X ' — Y cl'),
x,, Yi, z, designant les valeurs de x, y, z pour ), )= i et x,, y.,
Z2 les valeurs des memes variables pour ), = -. On pourra donner
a ', et ta )2 des valeurs imaginaires quelconques; en sorte que les
points obtenus dependront, comme cela doit etre, de quatre parametres reels.
Si le contour (L) est reel et si l'on designe par )0 la valeur de )
correspondante a un point reel determine du contour, on pourra
prendre
X(,)= +- {(Z dy -Y dz),
~(7) ', l(L( >, + - (X c -- Z clx),
z2 i (.(e> -)= + /(Yd —Xcly),
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