Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

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388 ~~~LIVRE III. - CHAP. VIII.

CHAPITRtE 'VIII.
LES FORUMILES DE M. SCHWARtZ.
D~tcrmination de la surface minima tangente ~ une d~veloppable donn6e suivant
une courbe donn6e. - Application ~ ce prob1me des r~sultats g~n~raux que la
th~orie dies 6quations aux d6riv6es parbielles doit ~m Cauchy. - Formules de
M. Schwarz. - Leur d6monstration par M. Lie. - Surfaces minima passant
par une droite r~clle; la droite est toujours un axe de synm~trie de la surface. -
Surface minimia r6-l6e, ch~terrnination nouvelle de cette surface. - Surface minima passant par une courbe plane. -- Cas oft cette courbe doit 6tre une ligne
de courbure ou uine ligne g6od6sique. - Th6or~me de MNM. Henneberg et Lie.
- Surface minima adiuiettant une conique pour ligne g6od~sique.
245 Dans les Chapitres precedents, nouis avons de'veloppe' les
prpi 'L's les plus simples des surfaces iminima. II nous reste
indiquier comment, on peti determiner une surface minima salisfaisant, 'a des conditions donne'es. Nous examinerons en premier
lieu le proble'me suivant:Determniner ia suriface minima passant
par- an contour quelconque dlonn6 et admettant en chaque
point dle ce contour uin plan tangent donne'.
Nous ferons conna'itre d'abord cc que nous apprenneut, sur la
solution de ce proble'nie, les propositions generales relatives 'a lFinuegration par les siries des equations aux de'rive'es partielles. Ces
propositions, qe i'on doit, 'a Cauchy (i), peuvent, 'tre appliqu'e
at lIequation aux dirivenies partielles
(m q2) r- 2pqs vI — p 2)t o,
qui caracterise les surfaces minima. Elles permettent de de'()Les recherches de Cauchy sur cc sujet sont expos~es dans diffhrentes Nofes
ins~r~es en 1842 aux tomes XIV et XV des Comptes i-endus. On pourra consulter
aussi un travail beaucoup plus recent, publi6 en 1875 par M-e de Kowalewski
sons le titre:Titeor-ie cler partiellen Differentialgleichungen (Jour-nal de
Crelle, t. LXXX, p. s).