Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

LES SURFACES MINIMA ALGEBRIIQUES.

38-i

La the'orie des surfaces mi~nima "a point conique se rattache
Imm daemn ' celle des surfaces doubles. Nous avons vu. au
no 210 comment on passe d'une surface minimia 'a son ad'ointe.
Les re'sultats analytiques deja' signale's peuvent s'mnterpre'ter
comme I'I suit
Etant donnece uine surface minima, lieu des milieux des seg,-,
inents dont les extremites s'appuient sur les deux courbes (F),
(F,), soient (F'), (p1) les hom~othe'tiques de (F), (F,) respectivement, prises par rapport au me~me pole 0, avec des rapports
d'homothe'tie respecti cement egau &d i et & - i. La surface
adjointe est le lieu des milieux des segments dont les extruimnite's dcecricent les Cour7bes (17'), (F'1).
Par suite, si les deux courbes (F), (F, ) sont syme'triques F-Line
de 1'autre par rapport an p oint 0, les courbes (F'), (F's) seront
identiques et vice versa. On est ainsi conduit au the'ore'me suivant:
Pour obleuir toutes les surfaces a' point coni que, i.I suf/ira
de prendre les adlointes des sur7faces doubles.
On voit ainsi qu.'il y a des surfaces re'elles 'a point conique et Fon
saiL comment on les obtiendra. Le lecteur de'duira facilement de,
ce qui pr'ce'de la construction sui-vante
Pour obtenir l'adjointe de Ia-surface double lieu des milieieux
des coerdes d'un7e cour7be mzinima (D), oni me'nera par lc point1
/ixe 0 des paraliI'les &csordes, d'une lnongucur gle a
long0uecur de la corde multiplie'e par i. Les extremite'S de ces
p aralle'les de'Crir-Ont la sur7face cherche'e, qui aura. Ic point 0
pour point COnique.